Dina-notat no. 59 KVL, maj 1997
Dina-notat no. 59 KVL, maj 1997 
Jesper Jørgensen og Jens Christian Larsen
Den Kongelige Veterinær- og Landbohøjskole
Institut for Matematik og Fysik
Thorvaldsensvej 40,
1871 Frederiksberg C
Maj 1997
Dette er den anden rapport om undervisningsprojektet Biomodeller, der startede i januar 1997 og løber til udgangen af 1999. Projektet er finansieret af undervisningsministeriet og KVL i fællesskab, med halvdelen hver. Vi beskriver, hvordan projektets første fem måneder er forløbet, og hvilke konklusioner der allerede nu kan drages. Rapporten udsendes i Dina-serien og er skrevet i samarbejde med Biomodelgruppen, som varetager projekt. Gruppen består p.t. af:
Ved starten af projektet blev der opslået to adjunktstillinger, en i matematik og en i datalogi, og de blev besat med hhv Jens Christian Larsen og Jesper Jørgensen. Deres undervisningsopgave er at planlægge og gennemføre undervisning i matematik, hvor der eksperimenteres med ny teknologi, herunder computeralgebra. Rammerne er to nye kurser ved KVL, Biomodeller O (tidl. K) og Biomodeller G , hvor O står for overbygning og G for grunduddannelse.
Biomodeller O er blevet afholdt for første gang i foråret 1997. Kurset kan vælges af kandidatstuderende, som ud over de obligatoriske grundkurser i matematik og statistik har taget et af kurserne Lineær algebra og Differentialligninger. Da der skulle udvælges kursusdeltagere, var det dog naturligt at slække lidt på kravene, idet tilmeldinger til det samtidig nedlagte kursus Miljømodeller rimeligvis burde accepteres som tilmeldinger til Biomodeller O.
Sideløbende med kurset er der afholdt møder i Biomodelgruppen for at evaluere kursets forløb og bistå lærerne med råd og synspunkter. Ialt blev det til seks sådanne møder, som viste sig meget udbytterige for lærerne.
Vi ønsker med de følgende sider ikke blot at gøre status over projektet, men også at formidle nogle af vore erfaringer til matematiklærere ved andre højere læreanstalter i Danmark. Således bliver rapporten udleveret til deltagerne i Dansk Matematisk Forenings møde 3/6 1997, hvor der skal være en paneldiskussion om computeralgebra i matematikundervisningen. Jens Christian Larsen bidrager til diskussionen ved DMF mødet med et oplæg om Biomodel-projektet.
Et hovedformål med kurset Biomodeller O er at sætte de studerende i stand til at opstille og analysere matematiske modeller fra biologi - bredt forstået, dog samtidig med henblik på, hvad der ligger inden for KVLs fagområder.
Kurset var i denne første version udformet med følgende fordeling af forelæsninger, øvelser og projektarbejde:
minutter
minutterFølgende stof er gennemgået:
Ordinære differentialligninger, løsningsformel for den lineære 1. ordens differentialligning, to samhørende differentialligninger i to variable, faseportrætter, klassifikation af singulære punkter, isokliner. Lineær regression, multipel regression, logistisk regression. Eksempler fra populationsdynamik. Differentialligninger af 2. orden, dynamiske systemer i højere dimension (;SPMgt;2).
Introduktion til Maple: funktion, mængde, liste, sekvens, differentialligningsløsning, ligningsløsning, integration, differentiation, plotning. Uddybning af udvalgte emner samt indføring i brug af Maple-pakker, specielt statistikpakken med illustration af lineæ r regression, polynomiel regression og logistisk regression. Grundig omtale af faseportrætter, med fokus på kommandoerne DEplot, phaseportrait, fieldplot og dfieldplot, til belysning af biologiske modeller fra kursets matematiske pensum. Sluttelig en omtale af `indbygget programmering' i Maple, da det på et tidligt tidspunkt viste sig, at flere af de projekter, som de studerende valgte at arbejde med, ville kræve en del programmering.
Der blev stillet 6 sæt opgaver i ovennævnte matematikpensum. Sæt 1 opfriskede stof fra Matematisk Grundkursus, mens sæt 2-6 testede og indøvede færdigheder i at løse differentialligninger, udføre lineær algebra og tegne faseportrætter.
Som grundbog på kurset blev valgt Yeargers, Shonkwiler & Herod (1996): An Introduction to the Mathematics of Biology. Birkhäuser. Denne bog blev deltagerne opfordret til at købe. Desuden blev der skrevet noter i matematik og i Maple, jfr. Appendix A. Noterne er tilgængelige på WWW (World Wide Web); adressen er
http://www.matfys.kvl.dk/biomodel/biomodeller-K/notes
Matematiknoternes afsnit 1 - 7 dækker pensum i kurset, som det er beskrevet ovenfor. Resten, afsnit 8 - 14, omtaler nogle af de matematiske emner, som viste sig at være vigtige for projekterne. Det drejer sig især om numeriske metoder til at finde ekstremum for en funktion og til at løse partielle differentialligninger; endvidere gav vi en indføring i dynamiske systemer i dimension ;SPMgt;2, og vi omtalte Hopf-bifurkationer i dimension 2.
Maplenoterne giver en kort introduktion til computeralgebra og dækker det ovennævnte Maple-pensum.
Den fælles undervisning varede til påskeferien, altså til ca.\ midt i kurset. Tidligt i forløbet blev de studerende opfordret til at vælge projekter, som skulle udarbejdes i kursets sidste syv uger. Man kunne arbejde enten enkeltvis eller nogle få sammen i en gruppe. Der blev etableret i alt 8 projekter, hvoraf 5 med en enkelt deltager, mens 2 havde to deltagere og 1 havde tre. Alle de tolv involverede studerende gennemførte kurset.
Her er en oversigt over de otte projekter:
hvor C er koncentrationen af et stof i væskefasen, og S er koncentrationen af stoffet i sorberet form. De studerende havde data fra et forsøg, udført i et ph.d. projekt på DTU, og de ønskede at simulere disse data.
indhold i atmosfæren eller ved globale klimaændringer. Den
studerende greb dette an via en bifurkationsanalyse af vektorfeltet, med
H som bifurkationsparameter.
hvor eA, ea og e er funktioner af p og M.
I en af artiklerne vises, at når eA, ea og e
afhænger på bestemt måde af en parameter a, udviser
systemet Hopf-bifurkationer. I projektet er disse resultater eftervist
og bifurkationsværdien 
udregnet; der afprøves forskellige funktionssammenhænge for
eA, ea og e med tilhørende faseplansanalyser
for banekurvernes opførsel; og beviset for Hopf bifurkationssætningen
gennemgås.
Systemets højreside er en affin funktion af w, idet A er en matrix med konstante elementer, og "input"-vektoren P, indeholdende fotosyntese og mitokondriel respiration, ligeledes antages konstant. Den studerende løste systemet vha. Maple og med koefficienter taget fra den nævnte artikel. Han udbyggede modellen ud fra plantefysiologiske overvejelser, bl.a. til en mere realistisk variant med tilbagekobling fra det strukturelle top-materiale til respirationen. Vha. lineær algebra og Maple blev stabilitetsforholdene for den ændrede model undersøgt.
hvor n er antal venstre- og højresider i reaktionerne; L er antal sammenhængskomponenter i "reaktionsdiagrammet", dvs den graf, der fremkommer af reaktionerne; og s er antal `lineært uafhængige' kemiske forbindelser. Programmet skulle også beregne defekten d af systemet. Det kan nævnes, at et reversibelt kemisk system er stabilt, hvis og kun hvis d=0.
Sideløbende med kurset blev der afholdt tre evalueringer:
Formålet med det første spørgeskema var at få de studerendes vurdering af den første del af kursets forløb, dvs.\ forelæsningsdelen. Alle spørgsmål undtagen 2 var af en type, hvor man kun kan svare med et ud af en række faste svar.
De studerende blev spurgt om følgende:
Desuden blev de studerende bedt om at beskrive, hvordan kurset kunne gøres bedre, og hvad de ellers mente om kurset.
Generelt syntes stort set alle deltagerne, at forelæsningerne var relevante eller meget relevante og fremlæggelsen god til meget god (bedste svar). De fleste fandt matematikforelæsningerne middel i sværhedsgrad, men 2 fandt dem svære og 2 meget svære.
De fleste syntes, at hjemmeopgaverne i matematik var relevante, men svære (2 middel svære, 6 svære og 3 meget svære). Maple øvelserne var efter flertallets mening meget relevante og middel svære (neutralt svar).
Noterne i matematik fandt de studerende middel svære til svære, mens alle syntes, at Maple noterne var middel svære.
Desuden syntes de studerende, at deres tidsforbrug på kurset var tilpas, og at kurset i rimelig grad levede op til deres forventninger, men der var for lidt relevant biologisk indhold.
Mht forbedring af kurset var der følgende gennemgående eller interessante forslag:
Formålet med dette skema var at få en vurdering af kursets projektdel og kurset som helhed. De studerende blev bedt om:
Som helhed var deltagerne meget tilfredse, også med projektdelen: 4 gav karakteren 5, 4 karakteren 4 og 2 karakteren 3. Med hensyn til vejledningen var der også stor tilfredshed, men nogle savnede lidt fastere rammer for, hvad og hvor meget de skulle gøre.
Om pensum var der delte meninger. De fleste fandt dog, at det dækkede deres behov og hang godt sammen. Der var ønsker om mere programmering i Maple pensummet og om et indslag om numeriske metoder i det matematiske pensum. En enkelt udbad sig mere matematisk teori og så det som et problem, at de studerendes forudsætninger ikke var specificeret mere præcist.
Alle undtagen én syntes, at Maple var godt til at løse de matematiske problemer i deres projekt, og at de meget muligt ville bruge Maple senere, f.eks. i deres speciale. Der var 8, der fandt det en god ide at bruge Maple i de videregående matematikkurser; 2 havde ingen mening herom.
Ved en samlet vurdering af kurset var de fleste meget positive og mente,
at projektdelen havde været meget udbytterig. Dog mangler der biologisk
indhold i forelæsningsdelen, og antallet af Maple forelæsninger
kan skæres ned, mod at øvelserne g 
res mere interaktive.
I diskussionen efter slutseminaret viste der sig at være meget delte meninger om brugen af Maple i andre fag ved KVL. Vi spurgte de studerende, om de f.eks. mente, at Maple burde indføres allerede i kurserne Lineær algebra og Differentialligninger. Synspunkterne gik fra den ene yderlighed til den anden: en fandt, at der ikke måtte røres ved det eksisterende kursus Differentialligninger og noterne hertil; en anden derimod, at det skulle baseres udelukkende på Maple. Det var desuden interessant, at flere studerende gav udtryk for, at forelæsningerne i Biomodeller O burde fortsætte i anden halvdel af kursusperioden. Men ellers fremkom mange af de samme synspunkter som i besvarelserne af spørgeskemaerne, f.eks. om manglen på biologisk indhold i kurset, og det blev fremført, at bogen var blevet brugt for lidt.
I dette afsnit gør vi status over nogle ideer, som er omtalt i projektbeskrivelsen [1], men som i det væsentlige endnu ikke er taget op. At ideerne ikke er afprøvet endnu, betyder ikke nødvændigvis, at der allerede på nuværende tidspunkt i projektforløbet burde være arbejdet med dem, men vi nævner dem for at understrege, at vi stadig anser dem for at være vigtige. Det drejer sig om følgende:
Som helhed må vi nå til det resultat, at den første udgave af Biomodeller O var en succes. De studerende var godt tilfredse, og det er vores klare opfattelse, at kvaliteten af deres rapporter har været over al forventning. Desuden har vi opnået en lang række erfaringer, der kan bruges videre frem i projektet.
Valget af Maple som det edb-system, der skulle bruges på kurset, var en smule tilfældigt, eftersom der ikke var lang tid til at undersøge, hvilke produkter der fandtes på markedet. Hvis ikke man havde skelet en del til, hvad der allerede er i brug ved AUC, DTU og et par andre steder, kunne valget måske lige så godt være faldet på et andet system.
Ikke desto mindre har Maple fungeret som et ganske udmærket værktø j på kurset. Specielt var Maple godt under indlæringsfasen, hvor det hjalp de studerende til at forstå det matematiske pensum. Til gengæld viste Maple sig knap så velegnet i projektfasen, hvor det for nogle af projekternes vedkommende var for tidrøvende rent beregningsmæssigt; det hænger sammen med, at Maple er et fortolket ``sprog'' og derfor kører flere størrelsesordener langsommere end f.eks. C, FORTRAN eller Pascal. Måske kan der til særlig kø retidskrævende projekter fremover suppleres med et andet system som f.eks. MatLab eller et generelt programmeringssprog. I hvert fald vil det være en god ide at undersøge nærmere, hvilke alternativer til Maple der findes.
Men ellers må vi ud fra både egne og de studerendes erfaringer med Maple konkludere, at der er basis for at forsøge Maple udnyttet i andre matematikkurser på KVL.
Et vigtigt problem, som der bør findes en løsning på, er at skaffe et bedre og mere relevant biologisk indhold i kurset. Der vil nok automatisk ske en vis forbedring på det punkt, allerede næste gang kurset afholdes, da vi kan trække på erfaringerne fra dette forår og inddrage eksempler fra de studerendes projekter. Men der er også brug for at øge kontakten til andre lærere på KVL for at finde flere relevante eksempler.
I hvor høj grad der skal skæres ned på antallet af Maple forelæsninger, er svært at sige. Selv om mange af de studerende ønsker dette, er vi ikke sikre på, at det er en god ide, før vi har prøvet det i praksis. Måske ville en bedre løsning være, at en vis del af Maple undervisningen integreres i matematikundervisningen, mens resten henlægges til øvelserne, som i så fald skal gøres mere strukturerede.
Flere har peget på det problem, at deltagerne på Biomodeller O mødte op med uensartede forudsætninger, idet de kun skulle have taget enten kurset Lineær algebra eller kurset Differentialligninger. Derved blev det nødvendigt at repetere en del emner fra de to kurser. Det bør overvejes, enten om man skal kræve mere ensartede forudsætninger, eller om vi har mulighed for at tilrettelægge matematikundervisningen, så problemet mindskes.
Da Biomodeller O ligger på overbygningen, er en vis repetition dog nok ønskelig, uanset om de studerendes har nogenlunde samme forudsætninger. Det kan være gået flere år, siden deltagerne sidst mødte dette stof. Måske kunne vi mindske problemet ved at kombinere repetition af matematisk pensum med indførelsen af mere biologisk relevant indhold i kurset.
Det bo r også overvejes, om et datalogikursus skal indgå i kursets forudsætninger. Det ville betyde, at vi ikke behøvede at afsætte ret meget tid til at få de studerende i gang med at bruge edb, herunder e-mail og WWW.
Endelig nævner vi den mulighed, at Biomodeller G kunne være en forudsætning for Biomodeller O.
Faktisk er der gjort en hel del på dette område. Vi har f.eks. brugt e-mail til at sende meddelelser til de studerende, vi har haft et spørgeskema på Web'et, og vi har udarbejdet WWW sider, der indeholder relevante oplysninger for de studerende: kursusplan, pensumoversigt, direkte adgang til matematik- og Maple-noter osv. Blandt de ting, der endnu ikke har været gjort, men som bør afprøves i fremtiden, er: Aflevering af opgaver (Maple øvelser) med e-mail; undervisning i søgning på nettet; og aflevering af projekter som Maple-dokumenter (der straks lægges ind på WWW-siderne).
I fremtiden vil der blive flere og flere studerende, som allerede er erfarne brugere af IT, og vi kan da lægge mindre vægt på at indføre dem i dette område. Desuden indgår e-mail, WWW og søgning på nettet i kurset Databehandling.
Biomodeller G, som bliver næste opgave, er i modsætning til Biomodeller O et indledende kursus. Vi forventer derfor, at Maple faktisk vil være mere velegnet på Biomodeller G. I hvert fald bør Maple absolut prøves også der, og udfaldet vil kunne give et bedre fingerpeg med hensyn til, om det vil være en god ide at indføre Maples mere ekstensivt i matematikundervisningen på KVL.
Man kunne spørge, om det allerede på G-kurset burde være en forudsætning, at man har lært en eller anden form for programmering, f.eks. har taget et datalogikursus. Men Biomodeller G ligger tidligt i studieforløbet, og derfor mener vi ikke, det vil være hensigtmæsigt at stille specielle forhåndkrav om programmeringsfærdigheder. For Biomodeller O er det derimod som nævnt tidligere en mulighed, der bør gennemtænkes, dels p.g.a. kursets sene placering, dels ud fra de blandede erfaringer, vi har gjort i foråret med Maples anvendelighed til større modelleringsopgaver. Enten skulle de studerende allerede have lært Maple før Biomodeller O, eller også skulle de kende et andet programmeringssprog, f.eks. Java, der for tiden indgår i kurserne Databehandling og Programmering.
Yeargers, Shonkwiler & Herod: An Introduction to the Mathematics of Biology: With computer algebra methods. Birkhaüser, 1996.
*) indgår i pensum.
*) indgår i pensum.
Et kort notat om WWW og Maple systemet
[1] Mogens Flensted-Jensen og Poul Einer Hansen: Biomodeller - Et undervisningsprojekt, Dina Notat No. 54, September 1996.