{VERSION 2 3 "LINUX INTEL UNIX" "2.3" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 256 "" 1 12 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 1 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 1 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE " " -1 261 "" 1 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE " " -1 265 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading \+ 2" 3 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 4 4 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 11 12 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Plot" 0 13 1 {CSTYLE " " -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 262 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 263 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 264 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 265 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 266 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 267 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 268 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 269 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 270 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 271 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 272 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 273 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 274 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 275 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 276 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 277 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 278 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 279 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 280 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 281 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 282 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Projectreport in Biomodels O." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Mathematics and Physics." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT 258 22 "Mo dels of crop growth." }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT 259 30 "Basis in a gra ss growth model." }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 259 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 260 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 261 "" 0 "" {TEXT 260 7 "Made by" }}{PARA 262 " " 0 "" {TEXT 262 27 "Lisbeth Christensen, L9171." }}{PARA 263 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 263 "" 0 "" {TEXT 261 12 "Supervisors:" }}{PARA 264 "" 0 "" {TEXT 263 18 "Poul Ein er Hansen." }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 265 "" 0 "" {TEXT 264 17 "Jesper J \370rgensen." }}{PARA 266 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 267 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 267 "" 0 "" {TEXT -1 10 "June 1999." }}{PARA 268 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 269 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 270 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 271 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 272 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 273 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 273 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Department of Mathematics and Physics" }}{PARA 274 "" 0 " " {TEXT -1 48 "The Royal Veterinary and Agricultural University" }} {PARA 275 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Copenhagen" }}{PARA 276 "" 0 "" {TEXT -1 5 "1999." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Preface." }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 276 "The present report \"Models of crop growth. Basis in gra ss growth model\" is drawn up by a student of agronomy in spring 1999 \+ in the course \"Biomodels O\" (016020) at Department of Mathematics an d Physics at The Royal Veterinary and Agricultural University (\"KVL\" ) in Copenhagen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 310 "The aim of the cours e is at the overall level to combine electronic data processing (EDP), mathematics and biology. This aim is tried to be fulfilled by setting up and analysing mathematical models of biological systems, especiall y such as with interest for students at KVL, in the programme Maple V \+ Release 4." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 403 "In the first half of the c ourse the theory, including summary of basic mathematical knowledge, d ifferent types of mathematical models and examples, is gone through an d parallel with this Maple and other facilities are practised. The las t half of the course is dedicated to give the students a chance of inv estigating an existing model or more models or developing and investig ating one or more model(s)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 240 "The idea \+ to the subject of this project is coming from an interest in the green house effect and the possible consequences on plant growth of an incre ase in the the concentration of the greenhouse gas carbon dioxide and \+ higher temperatures. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 256 "In connection w ith the preparation of this project I will like to thank senior lectur er Sven Erik J\370rgensen, Royal Danish School of Pharmacy, Department of Environmental Chemistry, Copenhagen, because of having placed his \+ time and knowledge at my disposal." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 232 "It is my hope that this report can prove somewhat useful to students at \+ KVL and other universities taking an interest in mathematics, crop gro wth and the effect of the two growth factors carbon dioxide concentrat ion and temperature." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 116 "As a reader it i s important to know that the Maple document has to be driven through i n the order that it is coming." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 280 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Copenha gen, June 11, 1999." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 281 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Lisbeth Christensen, \+ L9171." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 265 18 "Table of contents." }}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Preface. " }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 16 "1. Introduction." }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 24 "2. A grass growth model." }}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 62 "2.1. The model and a general description \+ of the biology of it." }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 48 "2.2. An attempt to solve the equations directly." }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 58 "2.3. The expressions of the component parts of the models ." }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 51 "2.4. Model 1: A simple equa tion for photosynthesis." }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 52 "2.5. Model 2: A complex equation for photosynthesis." }}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 64 "3. Trying to use the grass growth models on anoth er crop: Wheat." }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 29 "4. Discussion and conclusion." }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 11 "References. " }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Supplement." }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 16 "1. Introduct ion." }}{EXCHG {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 256 1011 "The purpose of this pro ject is to try to make a model for grass growth made by Johnson et al. (1983) work in Maple. Because of two different equations for photosyn thesis being applied to this model it is more correct to say that two \+ models for grass growth are going to be studied. This is done with as \+ many parameters as possible taken from data on a perennial ryegrass cr op (Leafe, Stiles and Dickinson, 1974). Afterwards it is the intensio n to vary some of the parameters to see which effect this will have on growth. In this case carbon dioxide and temperature variability is of interest because of a possible greenhouse effect. Finally the idea is to adapt the models for another crop by changing parameters being of \+ importance for crop type. The parameters of importance are replaced by values of wheat. Wheat has been chosen because it is an important cro p in agriculture. Again parameters are changed to investigate the effe ct of an altered carbon dioxide concentration and temperature on wheat growth." }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 24 "2. A grass growth model." }}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 257 67 "2.1. The model and a general description of the biology of it. " }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 129 "The model was deve loped for a vegetative, irrigated, fertilized, disease-free grass swar d. It is shown schematically in figure 1." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 282 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 279 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 277 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 278 "" 0 "" {TEXT -1 78 "Figur e 1. A simple mechanistic grass growth model (after Johnson et al.,198 3)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "By pressing enter on the first l ine (restart) calculations made earlier are undone." }{MPLTEXT 1 0 1 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 173 "In the following, two differential equat ions forming the basis of the model are set up and they are commented \+ to such an extent that is found suitable for the understanding." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 111 "The two state variables Ws and Wg of fig ure 1 are described by two ordinary first-order differential equations :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "eq1:=diff(Ws(t),t)=phi *theta*P(t)-(my*Wg)/Y+gamma_(t)*Wg;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6 #>%$eq1G/-%%diffG6$-%#WsG6#%\"tGF,,(*(%$phiG\"\"\"%&thetaGF0-%\"PGF+F0 F0*(%#myGF0%#WgGF0%\"YG!\"\"F8*&-%'gamma_GF+F0F6F0F0" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "eq2:=diff(Wg(t),t)=(mym(t)*Wg*Ws)/(Wg+Ws) -gamma_(t)*Wg-beta(t)*Wg;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$eq2G/- %%diffG6$-%#WgG6#%\"tGF,,(**-%$mymGF+\"\"\"F*F1%#WsGF1,&F*F1F2F1!\"\"F 1*&-%'gamma_GF+F1F*F1F4*&-%%betaGF+F1F*F1F4" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 513 "Eq1 describes the growth rate of the storage dry weigh t component Ws. The first term of the equation describes the photosynt hetic input. From this term two output (growth and respiration), descr ibed by the second term of eq1, are subtracted. The third and last ter m of eq1 is building upon the assumption that the loss of structural d ry matter Wg is zero and to counterbalance the loss described in eq2 a s the last but one term (-gamma_(t)*Wg) storage material is added to a t the same rate (+gamma_*Wg(t)) in eq1." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 147 "One may wonder why there has been written gamma_ instead of just \+ gamma. This is because gamma is a constant in Maple on a par with for \+ instance Pi." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 765 "The second differential \+ equation (eq2) is the growth rate of the structural component Wg. Thor nley and Hurd (1974) found that a type of hyperbolic relationship for \+ the gross growth rate worked well in tomato! and it is also what the a uthors of this model have chosen to use. Sven Erik J\370rgensen (perso nal communication, 1999) also suggested the growth rate being describe d by a Mich\344elis-Menten equation. As can be seen from eq2 the growt h is occuring at the expense of storage material. From the first term \+ in eq2 is subtracted a term describing senescence as a linear loss of \+ structural material. This seems reasonable because the model is concer ned with an established vegetative grass crop. The last term is descri bed in connection with the description of eq1. " }}}}{SECT 0 {PARA 3 " " 0 "" {TEXT -1 48 "2.2. An attempt to solve the equations directly." }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 105 "We define a new name (eqs) for \+ the two differential equations because it is practical with a common n ame:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "eqs:=\{eq1,eq2\}:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 142 "We ask Maple to solve the equa tions using the command dsolve indicating that it is differential (d) \+ equations which have to be solved (solve)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 26 "dsolve(eqs,\{Ws(t),Wg(t)\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 230 "Maple does not give an answer when trying to solve \+ the system of differential equations with the command dsolve. It means that Maple is unable to solve the equations analytically. The equatio ns may therefore be solved numerically." }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 59 "2.3. The expressions of t he component parts of the models. " }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "It is assumed that the leaf area index L is related to the structu ral dry weight Wg by" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "L:=a *Wg;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"LG*&%\"aG\"\"\"%#WgGF'" }} }{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 462 "In the following, three function s each composed of T (temperature) and t (time) are set up. The three \+ functions show that temperature is a function of time and the paramete rs mymT, gamma_T and betaT are functions of temperature. Therefore the functions, showing what t is taken into, are denoted with their \"usu al\" names (mym, gamma, beta) added the letter T making aware that we \+ are dealing with functions depending upon the temperature (look at the following)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "mym:=t->mym T(T(t+t0));" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$mymG:6#%\"tG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(-%%mymTG6#-%\" TG6#,&9$\"\"\"%#t0GF4F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "gamma_:=t->gamma_T(T(t+t0));" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%'gamma_G:6#%\"tG6\"6$%)operatorG%&ar rowGF(-%(gamma_TG6#-%\"TG6#,&9$\"\"\"%#t0GF4F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "beta:=t->betaT(T(t+t0));" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%betaG:6#%\"tG6\"6$% )operatorG%&arrowGF(-%&betaTG6#-%\"TG6#,&9$\"\"\"%#t0GF4F(F(" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 178 "The parameters mymT, gamma_T and \+ betaT may be regarded as quasi-chemical rate constants; they are there fore assumed to have the usual chemical Q10-type behaviour with a Q10 \+ of Q." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "mymT:=T->(mym0*Q^( T-T0))/10;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%mymTG:6#%\"TG6\"6$%)o peratorG%&arrowGF(,$*&%%mym0G\"\"\")%\"QG,&9$F/%#T0G!\"\"F/#F/\"#5F(F( " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "gamma_T:=T->(gamma_0*Q^ (T-T0))/10;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%(gamma_TG:6#%\"TG6\"6 $%)operatorG%&arrowGF(,$*&%(gamma_0G\"\"\")%\"QG,&9$F/%#T0G!\"\"F/#F/ \"#5F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "betaT:=T->(beta 0*Q^(T-T0))/10;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%&betaTG:6#%\"TG6 \"6$%)operatorG%&arrowGF(,$*&%&beta0G\"\"\")%\"QG,&9$F/%#T0G!\"\"F/#F/ \"#5F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 354 "Some data of tempera ture are needed. These are taken from another project made in this cou rse by Madsen (1997). The data of temperature are mean temperatures of measurements carried out at H\370jbakkeg\345rd in the period 1966-197 9. To describe the variation of year a cosine and sine function is fit ted to the monthly data of temperature by linear regression." }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "To do linear regression in Maple o ne has to load the package stats." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(stats):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "First a list of the number of days from the first of January to the f irst in every month is drawn up." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "ds:=[1,32,60,91,121,152,182,213,244,274,305,335];" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#dsG7.\"\"\"\"#K\"#g\"#\"*\"$@\"\"$_ \"\"$#=\"$8#\"$W#\"$u#\"$0$\"$N$" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "Ts is a list of mean temperatures for each of the months of the ye ar corresponding to ds." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 59 " Ts:=[-0.4,-0.4,2,5.1,10.6,14.7,15.8,16.0,12.5,8.7,4.7,1.4];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#TsG7.$!\"%!\"\"F&\"\"#$\"#^F($\"$1\"F($\" $Z\"F($\"$e\"F($\"$g\"F($\"$D\"F($\"#()F($\"#ZF($\"#9F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "A:=evalf(2*Pi/365):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 111 "eq:=fit[leastsquare[[d,T],T=B0+B1* cos(A*d)+B2*sin(A*d)+B3*cos(2*A*d)+B4*sin(2*A*d),\{B0,B1,B2,B3,B4\}]]( [ds,Ts]);" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#eqG/%\"TG,,$\"+;60)f(! \"*\"\"\"-%$cosG6#,$%\"dG$\"+K1U@0#FA" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 131 "To turn the expression on the right hand into a fun ction of the variable day (d) Maple contains a function unapply that d oes this. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "T:=unapply(rh s(eq),d);" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"TG:6#%\"dG6\"6$%)oper atorG%&arrowGF(,,$\"+;60)f(!\"*\"\"\"-%$cosG6#,$9$$\"+K1U@0#F FF(F(" }}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 51 "2.4. Model 1: A simple equation for photosynthesis." }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 276 " With many models there are special or limiting cases which can be solv ed analytically to give a valuable check on the biology built into the the model and also on the mathematical formulation of that biology. O ne such case for a constant environment will be investigated now. " }} }{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 110 "Balanced exponential growth occu rs at low values of leaf area index L and photosynthesis P can be appr oximated" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "P:=xi*L;" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"PG*(%#xiG\"\"\"%\"aGF'%#WgGF'" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "dsolve(eqs,\{Ws(t),Wg(t)\}); " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 204 "Maple refused to solve the e quations analytically. To be able to solve the differential equations \+ the plant parameters used by Leafe, Stiles and Dickinson (1974) on a p erennial rye grass crop are applied." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 144 "phi:=0.9;theta:=12/44;Y:=0.75;gamma_0:=0.1;mym0:=0.4 ;my:=(mym(t)*Ws)/(Wg+Ws);beta0:=0.05;a:=21;h:=64800;Q:=2;T0:=20;t0:=18 2;xi:=h*1.5*10^(-6); " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$phiG$\"\" *!\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%&thetaG#\"\"$\"#6" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"YG$\"#v!\"#" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%(gamma_0G$\"\"\"!\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%mym0G$\"\"%!\"\"" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#myG,$* ()%\"QG,.$\"+;60)f(!\"*\"\"\"-%$cosG6#,&%\"tG$\"+K1U@$!+L %R>0#FD%#T0G!\"\"F-%#WsGF-,&%#WgGF-FJF-FI$\"+++++SF5" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%&beta0G$\"\"&!\"#" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"aG\"#@" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"hG\"&+['" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"QG\"\"#" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#T0G\"#?" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#t0G\"$ #=" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#xiG$\"++++?(*!#6" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 259 "There has been written semicolon between the parameters so that the values are displayed. It may give a better overview of the values. But as they are shown directly when entered i n Maple one may use \":\" which indicate that the result will not be d isplayed. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 647 "Some of the parameters ha ve been estimated in the light of common sense. This is the case for m y which is assumed to be the relative gross growth rate. In this case \+ my is not coming out with a specific number because some of the parame ters which it contains are subsequently defined. The growth of the gra ss is wanted to be modelled from the 30th of June and for that reason \+ the day lenght has been put to 18 hours equal to 64.800 seconds. The t ime of start, t0=182, is due to the wish of being able to say somethin g about the growth from the 30th of June. 182 represents the first of \+ July. It must be stressed that the value of xi is an estimate." }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 126 "Start conditions have been chosen also by means of common sense after having looked upon figure 8.7 in \+ Johnson et al. (1983). " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 89 " #dsolve(\{eq1,eq2,Ws(0)=0.1,Wg(0)=0.1\},\{Ws(t),Wg(t)\}, type=numeric, output=listprocedure);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "Maple \+ will not solve this system and therefore another method has been used. " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Two functions f1 and f2 are m ade. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "f1:=unapply(rhs(eq 1),Ws,Wg,t): " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "f2:=unappl y(rhs(eq2),Ws,Wg,t): " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 103 "The sto rage dry weight is defined to time t (Wst) to be equal to the storage \+ dry weight to time 0 etc. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "Wst:=Ws0;Wgt:=Wg0;" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$WstG%$Ws0G" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#> %$WgtG%$Wg0G" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "Ws0 etc. are give n start values (the same values as earlier). dt is a little step of ti me." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "Ws0:=0.1;Wg0:=0.1;dt :=.1;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Ws0G$\"\"\"!\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Wg0G$\"\"\"!\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#dtG$\"\"\"!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Wss and Wgs are two lists. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "Wss:=[[0,Ws0]];Wgs:=[[0,Wg0]];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$WssG7#7$\"\"!$\"\"\"!\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$WgsG7#7$\"\"!$\"\"\"!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 194 "A programme is made. Wstnew and Wgtnew are both comput ing the new values of respectively Wst and Wgt by taking the old ones \+ and adding them with the old ones multiplied by a step of time of dt. \+ " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 192 "for i from 0 by dt to \+ 100 do\n Wstnew:=Ws0+evalf(f1(Wst,Wgt,i)*dt);\n Wgtnew:=Wg0+evalf(f2 (Wst,Wgt,i)*dt);\n Wst:=Wstnew;\n Wgt:=Wgtnew;\n Wss:=[op(Wss),[i,W st]];\n Wgs:=[op(Wgs),[i,Wgt]];\nod:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Now plots are made. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "p1:=Wss:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "plot(Wss,labels=[`t/days`,`Ws`]);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6$-%'CURVESG6$7fin7$\"\"!$\"1+++++++5!#;7$F ($\"1+++x5(*\\5F+7$F)$\"1+++Qx'*\\5F+7$$\"1+++++++?F+$\"1+++Ux'*\\5F+7 $$\"1+++++++IF+$\"1+++bv'*\\5F+7$$\"1+++++++SF+$\"1+++rt'*\\5F+7$$\"1+ ++++++]F+$\"1+++!>n*\\5F+7$$\"1+++++++gF+$\"1+++6q'*\\5F+7$$\"1+++++++ qF+$\"1+++No'*\\5F+7$$\"1+++++++!)F+$\"1+++hm'*\\5F+7$$\"1+++++++!*F+$ \"1+++*[m*\\5F+7$$\"\"\"F($\"1+++@j'*\\5F+7$$\"1+++++++6!#:$\"1+++ah'* \\5F+7$$\"1+++++++7F\\o$\"1+++\"*f'*\\5F+7$$\"1+++++++8F\\o$\"1+++Ie'* \\5F+7$$\"1+++++++9F\\o$\"1+++rc'*\\5F+7$$\"1+++++++:F\\o$\"1+++:b'*\\ 5F+7$$\"1+++++++;F\\o$\"1+++i`'*\\5F+7$$\"1+++++++F\\o$\"1+++=\\'*\\5F+ 7$$\"\"#F($\"1+++vZ'*\\5F+7$$\"1+++++++@F\\o$\"1+++NY'*\\5F+7$$\"1++++ +++AF\\o$\"1+++(\\k*\\5F+7$$\"1+++++++BF\\o$\"1+++jV'*\\5F+7$$\"1+++++ ++CF\\o$\"1+++IU'*\\5F+7$$\"1+++++++DF\\o$\"1+++,T'*\\5F+7$$\"1+++++++ EF\\o$\"1+++uR'*\\5F+7$$\"1+++++++FF\\o$\"1+++]Q'*\\5F+7$$\"1+++++++GF \\o$\"1+++HP'*\\5F+7$$\"1+++++++HF\\o$\"1+++5O'*\\5F+7$$\"\"$F($\"1+++ %\\j*\\5F+7$$\"1+++++++JF\\o$\"1+++\"Qj*\\5F+7$$\"1+++++++KF\\o$\"1+++ rK'*\\5F+7$$\"1+++++++LF\\o$\"1+++jJ'*\\5F+7$$\"1+++++++MF\\o$\"1+++eI '*\\5F+7$$\"1+++++++NF\\o$\"1+++cH'*\\5F+7$$\"1+++++++OF\\o$\"1+++cG'* \\5F+7$$\"1+++++++PF\\o$\"1+++fF'*\\5F+7$$\"1+++++++QF\\o$\"1+++lE'*\\ 5F+7$$\"1+++++++RF\\o$\"1+++uD'*\\5F+7$$\"\"%F($\"1+++'[i*\\5F+7$$\"1+ ++++++TF\\o$\"1++++C'*\\5F+7$$\"1+++++++UF\\o$\"1+++'*\\5F+7$$\"1+++++++[F\\o$\"1+++z='*\\5F+7$$\"1+++++++\\ F\\o$\"1+++;='*\\5F+7$$\"\"&F($\"1+++b<'*\\5F+7$$\"1+++++++^F\\o$\"1++ +)ph*\\5F+7$$\"1+++++++_F\\o$\"1+++V;'*\\5F+7$$\"1+++++++`F\\o$\"1+++ \"fh*\\5F+7$$\"1+++++++aF\\o$\"1+++U:'*\\5F+7$$\"1+++++++bF\\o$\"1+++' \\h*\\5F+7$$\"1+++++++cF\\o$\"1+++_9'*\\5F+7$$\"1+++++++dF\\o$\"1+++79 '*\\5F+7$$\"1+++++++eF\\o$\"1+++u8'*\\5F+7$$\"1+++++++fF\\o$\"1+++R8'* \\5F+7$$\"\"'F($\"1+++28'*\\5F+7$$\"1+++++++hF\\o$\"1+++x7'*\\5F+7$$\" 1+++++++iF\\o$\"1+++^7'*\\5F+7$$\"1+++++++jF\\o$\"1+++F7'*\\5F+7$$\"1+ ++++++kF\\o$\"1+++27'*\\5F+7$$\"1+++++++lF\\o$\"1+++*=h*\\5F+7$$\"1+++ ++++mF\\o$\"1+++u6'*\\5F+7$$\"1+++++++nF\\o$\"1+++i6'*\\5F+7$$\"1+++++ ++oF\\o$\"1+++_6'*\\5F+7$$\"1+++++++pF\\o$\"1+++Y6'*\\5F+7$$\"\"(F($\" 1+++U6'*\\5F+7$$\"1+++++++rF\\o$\"1+++T6'*\\5F+7$$\"1+++++++sF\\o$\"1+ ++V6'*\\5F+7$$\"1+++++++tF\\o$\"1+++[6'*\\5F+7$$\"1+++++++uF\\o$\"1+++ c6'*\\5F+7$$\"1+++++++vF\\o$\"1+++m6'*\\5F+7$$\"1+++++++wF\\o$\"1+++z6 '*\\5F+7$$\"1+++++++xF\\o$\"1+++'>h*\\5F+7$$\"1+++++++yF\\o$\"1+++:7'* \\5F+7$$\"1+++++++zF\\o$\"1+++P7'*\\5F+7$$\"\")F($\"1+++h7'*\\5F+7$$\" 1+++++++\")F\\o$\"1+++*Gh*\\5F+7$$\"1*************>)F\\o$\"1+++>8'*\\5 F+7$$\"1,++++++$)F\\o$\"1+++_8'*\\5F+7$$\"1+++++++%)F\\o$\"1+++)Qh*\\5 F+7$$\"1+++++++&)F\\o$\"1+++F9'*\\5F+7$$\"1+++++++')F\\o$\"1+++p9'*\\5 F+7$$\"1*************p)F\\o$\"1+++8:'*\\5F+7$$\"1,++++++))F\\o$\"1+++g :'*\\5F+7$$\"1+++++++*)F\\o$\"1+++5;'*\\5F+7$$\"\"*F($\"1+++j;'*\\5F+7 $$\"1+++++++\"*F\\o$\"1+++><'*\\5F+7$$\"1*************>*F\\o$\"1+++x<' *\\5F+7$$\"1,++++++$*F\\o$\"1+++Q='*\\5F+7$$\"1+++++++%*F\\o$\"1+++->' *\\5F+7$$\"1+++++++&*F\\o$\"1+++p>'*\\5F+7$$\"1+++++++'*F\\o$\"1+++Q?' *\\5F+7$$\"1*************p*F\\o$\"1+++5@'*\\5F+7$$\"1,++++++)*F\\o$\"1 +++&=i*\\5F+7$$\"1+++++++**F\\o$\"1+++jA'*\\5F+7$$\"#5F($\"1+++WB'*\\5 F+7$$\"1++++++55!#9$\"1+++FC'*\\5F+7$$\"1++++++?5F_[m$\"1+++8D'*\\5F+7 $$\"1++++++I5F_[m$\"1+++-E'*\\5F+7$$\"1++++++S5F_[m$\"1+++$pi*\\5F+7$$ \"1++++++]5F_[m$\"1+++(yi*\\5F+7$$\"1++++++g5F_[m$\"1+++%)G'*\\5F+7$$ \"1++++++q5F_[m$\"1+++%)H'*\\5F+7$$\"1++++++!3\"F_[m$\"1+++'3j*\\5F+7$ $\"1++++++!4\"F_[m$\"1+++\">j*\\5F+7$$\"#6F($\"1+++)Hj*\\5F+7$$\"1++++ ++56F_[m$\"1+++4M'*\\5F+7$$\"1++++++?6F_[m$\"1+++@N'*\\5F+7$$\"1++++++ I6F_[m$\"1+++PO'*\\5F+7$$\"1++++++S6F_[m$\"1+++bP'*\\5F+7$$\"1++++++]6 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Model 2: A complex equation for photosynthes is." }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "Now the photosynthetic inpu t is given by this equation." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 226 "P:=t->((Pm(t)*h)/k)*ln((((alpha*k*J)/h)+((1-m)*Pm(t))+(sqrt((2* alpha*k*J)/h*((1-m)*Pm(t))+((1-m)^2)*(Pm(t)^2))))/((((alpha*k*J)/h)*ex p(-k*L))+((1-m)*Pm(t))+(sqrt((2*alpha*k*J)/h*((1-m)*Pm(t)*exp(-k*L))+( (1-m)^2*(Pm(t)^2))))));" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 " " 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"PG:6#%\"tG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(**-%#PmG 6#9$\"\"\"%\"hGF1%\"kG!\"\"-%#lnG6#*&,(**%&alphaGF1F3F1%\"JGF1F2F4F1*& ,&F1F1%\"mGF4F1F-F1F1-%%sqrtG6#,&*.F;F1F3F1FF1F-F1\"\"#*&F>FE F-FEF1F1F1,(*,F;F1F3F1FF1F-F1FIF1FEFFF1F1F4F1F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "dsolve(eqs,\{Ws(t),Wg(t)\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Again Maple cannot solve the equations directly ." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 100 "The following function is p arallel to the functions in section 2.3 but is only relevant for model 2." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "Pm:=t->PmT(T(t+t0)); " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>% #PmG:6#%\"tG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(-%$PmTG6#-%\"TG6#,&9$\"\"\"%#t0G F4F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 236 "For the single-leaf ph otosynthetic parameters of the equation of photosynthesis it is assume d that the photosynthetic efficiency alfa is independent of temperatur e, but the maximum photosynthetic rate Pm is assigned a linear depende nce:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "PmT:=T->(P0+P1*T); " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>% $PmTG:6#%\"TG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(,&%#P0G\"\"\"*&%#P1GF.9$F.F.F(F (" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 153 "To be able to solve the dif ferential equations the plant parameters used by Leafe, Stiles and Dic kinson (1974) on a perennial rye grass crop are applied." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 75 "J:=600;P0:=0.5*10^(-6);P1:=0.05*10^ (-6);alpha:=12*10^(-9);k:=0.5;m:=0.12; " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"JG\"$+'" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#>%#P0G$\"+++++]!#;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6 #>%#P1G$\"+++++]!#<" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%&alphaG#\"\"$ \"*+++]#" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"kG$\"\"&!\"\"" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"mG$\"#7!\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "The value of J=600 W/m2 is taken from Leafe et al. ( 1974) and is an estimated mean value. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 89 "#dsolve(\{eq1,eq2,Ws(0)=0.1,Wg(0)=0.1\},\{Ws(t),Wg(t) \}, type=numeric, output=listprocedure);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "Maple will not solve this system and therefore the method used to solve model 1 has been applied." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "f1:=unapply(rhs(eq1),Ws,Wg,t): " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "f2:=unapply(rhs(eq2),Ws,Wg,t): " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "Wst:=Ws0;Wgt:=Wg0;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$WstG$\"\"\"!\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$WgtG$\"\"\"!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "Ws0:=0.1;Wg0:=0.1;dt:=0.1;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$W s0G$\"\"\"!\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$Wg0G$\"\"\"!\"\" " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#dtG$\"\"\"!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "Wss:=[[0,Ws0]];Wgs:=[[0,Wg0]];" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$WssG7#7$\"\"!$\"\"\"!\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$WgsG7#7$\"\"!$\"\"\"!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 192 "for i from 0 by dt to 100 do\n Ws tnew:=Ws0+evalf(f1(Wst,Wgt,i)*dt);\n Wgtnew:=Wg0+evalf(f2(Wst,Wgt,i)* dt);\n Wst:=Wstnew;\n Wgt:=Wgtnew;\n Wss:=[op(Wss),[i,Wst]];\n Wgs :=[op(Wgs),[i,Wgt]];\nod:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "p1:=Wss:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "plot(Wss,label s=[`t/days`,`Ws`]);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 13 "" 1 " " {INLPLOT "6$-%'CURVESG6$7fin7$\"\"!$\"1+++++++5!#;7$F($\"1+++0?q)*** !#<7$F)$\"1+++g-q)***F/7$$\"1+++++++?F+$\"1+++7%)p)***F/7$$\"1+++++++I F+$\"1+++)e'p)***F/7$$\"1+++++++SF+$\"1+++!z%p)***F/7$$\"1+++++++]F+$ \"1+++:Ip)***F/7$$\"1+++++++gF+$\"1+++l7p)***F/7$$\"1+++++++qF+$\"1+++ R&*o)***F/7$$\"1+++++++!)F+$\"1,++Ryo)***F/7$$\"1+++++++!*F+$\"1,++jho )***F/7$$\"\"\"F($\"1+++6Xo)***F/7$$\"1+++++++6!#:$\"1+++&)Go)***F/7$$ \"1+++++++7F]o$\"1+++&G\"o)***F/7$$\"1+++++++8F]o$\"1+++4(z')***F/7$$ \"1+++++++9F]o$\"1+++f\"y')***F/7$$\"1+++++++:F]o$\"1,++Mmn)***F/7$$\" 1+++++++;F]o$\"1+++N^n)***F/7$$\"1+++++++F]o$\"1+++!zq')***F/7$$\"\"#F($ \"1+++$Rp')***F/7$$\"1+++++++@F]o$\"1+++B!o')***F/7$$\"1+++++++AF]o$\" 1+++ymm)***F/7$$\"1+++++++BF]o$\"1+++g`m)***F/7$$\"1+++++++CF]o$\"1+++ nSm)***F/7$$\"1+++++++DF]o$\"1*****4!Gm)***F/7$$\"1+++++++EF]o$\"1+++h :m)***F/7$$\"1+++++++FF]o$\"1+++Z.m)***F/7$$\"1+++++++GF]o$\"1******f \"f')***F/7$$\"1+++++++HF]o$\"1,+++!e')***F/7$$\"\"$F($\"1+++lol)***F/ 7$$\"1+++++++JF]o$\"1+++edl)***F/7$$\"1+++++++KF]o$\"1+++yYl)***F/7$$ \"1+++++++LF]o$\"1,++COl)***F/7$$\"1+++++++MF]o$\"1+++'f_')***F/7$$\"1 +++++++NF]o$\"1*****ff^')***F/7$$\"1+++++++OF]o$\"1*****Hi]')***F/7$$ \"1+++++++PF]o$\"1+++x'\\')***F/7$$\"1+++++++QF]o$\"1,++e([')***F/7$$ \"1+++++++RF]o$\"1+++lyk)***F/7$$\"\"%F($\"1********pk)***F/7$$\"1++++ +++TF]o$\"1*****>;Y')***F/7$$\"1+++++++UF]o$\"1+++_`k)***F/7$$\"1+++++ ++VF]o$\"1*****zcW')***F/7$$\"1+++++++WF]o$\"1*****>\"Qk)***F/7$$\"1++ 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F+7$$\"1++++++I%*F][m$\"1+++L4++?F+7$$\"1,+++++S%*F][m$\"1+++O4++?F+7$ $\"1++++++]%*F][m$\"1+++S4++?F+7$$\"1************f%*F][m$\"1+++V4++?F+ 7$$\"1++++++q%*F][m$\"1+++Z4++?F+7$$\"1++++++![*F][m$\"1+++\\4++?F+7$$ \"1,+++++!\\*F][m$\"1+++`4++?F+7$$\"#&*F($\"1+++d4++?F+7$$\"1********* ***4&*F][m$\"1+++g4++?F+7$$\"1++++++?&*F][m$\"1+++j4++?F+7$$\"1++++++I &*F][m$\"1+++m4++?F+7$$\"1,+++++S&*F][m$\"1+++p4++?F+7$$\"1++++++]&*F] [m$\"1+++t4++?F+7$$\"1************f&*F][m$\"1+++v4++?F+7$$\"1++++++q&* F][m$\"1+++z4++?F+7$$\"1++++++!e*F][m$\"1+++#)4++?F+7$$\"1,+++++!f*F][ m$\"1+++&)4++?F+7$$\"#'*F($\"1+++))4++?F+7$$\"1************4'*F][m$\"1 +++\"*4++?F+7$$\"1++++++?'*F][m$\"1+++%*4++?F+7$$\"1++++++I'*F][m$\"1+ ++(*4++?F+7$$\"1,+++++S'*F][m$\"1++++5++?F+7$$\"1++++++]'*F][m$\"1+++. 5++?F+7$$\"1************f'*F][m$\"1+++15++?F+7$$\"1++++++q'*F][m$\"1++ +35++?F+7$$\"1++++++!o*F][m$\"1+++65++?F+7$$\"1,+++++!p*F][m$\"1+++95+ +?F+7$$\"#(*F($\"1+++<5++?F+7$$\"1************4(*F][m$\"1+++?5++?F+7$$ \"1++++++?(*F][m$\"1+++@5++?F+7$$\"1++++++I(*F][m$\"1+++C5++?F+7$$\"1, +++++S(*F][m$\"1+++F5++?F+7$$\"1++++++](*F][m$\"1+++I5++?F+7$$\"1***** *******f(*F][m$\"1+++K5++?F+7$$\"1++++++q(*F][m$\"1+++N5++?F+7$$\"1+++ +++!y*F][m$\"1+++Q5++?F+7$$\"1,+++++!z*F][m$\"1+++S5++?F+7$$\"#)*F($\" 1+++V5++?F+7$$\"1************4)*F][m$\"1+++X5++?F+7$$\"1++++++?)*F][m$ \"1+++[5++?F+7$$\"1++++++I)*F][m$\"1+++]5++?F+7$$\"1,+++++S)*F][m$\"1+ ++_5++?F+7$$\"1++++++])*F][m$\"1+++a5++?F+7$$\"1************f)*F][m$\" 1+++d5++?F+7$$\"1++++++q)*F][m$\"1+++f5++?F+7$$\"1++++++!))*F][m$\"1++ +h5++?F+7$$\"1,+++++!*)*F][m$\"1+++j5++?F+7$$\"#**F($\"1+++n5++?F+7$$ \"1************4**F][m$\"1+++p5++?F+7$$\"1++++++?**F][m$\"1+++r5++?F+7 $$\"1++++++I**F][m$\"1+++t5++?F+7$$\"1,+++++S**F][m$\"1+++v5++?F+7$$\" 1++++++]**F][m$\"1+++x5++?F+7$$\"1************f**F][m$\"1+++z5++?F+7$$ \"1++++++q**F][m$\"1+++\"3,++#F+7$$\"1++++++!)**F][m$\"1+++$3,++#F+7$$ \"1,+++++!***F][m$\"1+++&3,++#F+7$$\"$+\"F($\"1+++(3,++#F+-%'COLOURG6& %$RGBG$Fgjl!\"\"F(F(-%+AXESLABELSG6$%'t/daysG%\"WG" 2 465 465 465 2 0 1 0 2 9 0 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 }}}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 28 "4.Discussion and conclusion." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 543 "Only a part of the idea with this projec t, as presented in the start, has been reached. I succeeded in making \+ the model work in Maple. But Maple could not solve it analytically nor independently. The last curve presented for model 2 are \"comparable \" with the curve achieved by the persons from who the data are taken. But in general it seems strange that the last curve of both models sh owing the sum of the storage and structural dry weight in both cases a re equal to the curves of storage dry weight for respectively model 1 \+ and model 2. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 523 "The problem with thi s work has been that it was difficult to get the article where the gra ss growth model has been described in detail. Because of that a lot of guesses have to be made on the way. Short before the delivery of this report I got the article but because of exam the article has not been studied - yet. It is my intension to work my way through the article \+ before the project is placed on the internet. For that reason to lines have not been deleted in the table of contents namely \"3. ...\" and \+ \"Supplement\". " }}}{PARA 11 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 " " {TEXT -1 0 "" }}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 11 "References." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 248 "Johnson, I. R., T. E. Ameziane and J. H. M. Thornley (1983): A model of grass growth. Annals of Botany 51, 599 -609. Extract in: France, J. and J. H. M. Thornley (1984): Mathematica l Models in Agriculture. A grass growth model. pp. 166-170. 335 pp. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 149 "J\370r gensen, S. E. (1999): Personal communication. Senior lecturer. Royal D anish School of Pharmacy, Department of Environmental Chemistry, Copen hagen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 286 "Leafe, E. L., W. Stiles and S. E. Dickinson (1974): The physiolog ical processes influencing the pattern of productivity of the intensiv ely managed grass sward. Proceedings of the 12th International Grassla nd Congress (ed. V.G. Iglovikov and A.P. Movsissyants), Vol. 1, pp. 44 2-457. (1)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 75 "Madsen, M. (1997): Vandbalancemodel \"Markvand\" for gr\346safg r\370de. p.4. 29 pp." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 350 "Thornley, J. H. M. and R. G. Hurd (1974): An analysis \+ of the growth of young tomato plants in water culture at different lig ht integrals and CO2 concentrations. II. A mathematical model. Annals \+ of Botany 38, 389-400. Mentioned in: France, J. and J. H. M. Thornley \+ (1984): Mathematical Models in Agriculture. A grass growth model. pp. \+ 166-170. 335 pp." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Remark:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "(1) Many of the plant pa rameters used in this project are taken from France et al. (1984). p. \+ 169." }}}}{MARK "25 0" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }